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Verketten zweier natürlicher Zahlen

Einführung: Eine mathematische Umformung sei dadurch definiert, dass zwei natürliche Zahlen zu einer dritten natürlichen Zahl “verkettet” werden:

n = 10m * a + b, wobei m = [lg b] + 1 . ([x] = größte ganze Zahl kleiner oder gleich x)
Zwei Beispiele einer Verkettung:
45, 386 45386
7, 78230
778230
Anmerkung: Die Stellenanzahl einer natürlichen Zahl u sei so verstanden, dass man u ohne führende Nullen schreibt.

Nun folgende Problemstellung als Rechenaufgabe zum definierten Sachverhalt:

Gegeben: Eine dreistellige Zahl b sei das Neunundzwanzigfache einer zweistelligen Zahl a.
a und b sollen zu “ihrer” fünfstelligen Zahl n verkettet werden (die zweistellige Zahl bilde den linken Teil von n).


Gesucht: Ein Beweis für folgende Tatsachen:


(1) Es gibt mehr als eine Lösung.
(2) Alle Lösungen sind durch 7³ ohne Rest teilbar.

Eine andere Problemstellung zum Thema “Verkettung”

Eine Verkettung zweier natürlicher Zahlen a und b führe zum n-fachen Wert von a und zum m-fachen Wert von b.

p = [lg (b)] + 1

a * 10[lg (b)]+1 + b = m * b
a * 10[lg (b)]+1 + b = n * a

a * 10p + b = m * b
a * 10p + b = n * a

m * b = n * a

Beispiel: Die Zahlen 24 und 600 werden verkettet. Es ergibt sich die Zahl 24600. Der Wert des Ergebnisses dieser Umformung lässt sich einerseits als das 1025-fache von 24 ausdrücken, andererseits als das 41-fache von 600:

1025 * 24 = 41 * 600 = 24600 = v (24, 600) =
= 24 * 10
[lg (600)]+1 + 600

Übungsbeispiele:

  1. Das Ergebnis einer Verkettung zweier Zahlen ist das 1008-fache der ersten Komponente a und das 126-fache der zweiten Komponente b. Es soll zumindest ein Lösungspaar gefunden werden.

  2. Das Ergebnis einer Verkettung zweier Zahlen ist das 1020-fache der ersten Komponente a und das 51-fache der zweiten Komponente b. Es soll zumindest ein Lösungspaar gefunden werden.

Chaining up two natural numbers (concatenation)

Introduction: A mathematical transformation be defined by the fact that two natural numbers are "concatenated" to a third natural number:
n = 10m * a + b, where m = [lg b] + 1 . ([x] = largest integer less than or equal to x)
Two examples of a concatenation:
45, 386 ⇒ 45386
7, 78230 ⇒ 778230
Note: The number of digits of a natural number u be understood as writing u without leading zeros.

The now following problem is an arithmetical problem for the defined facts:

Given: A three-digit number b is the twenty-nine times of a two-digit number a.
a and b are to be concatenated to "their" five-digit number n (the two-digit number forms the left part of n).

Wanted: A proof for the following facts:

(1) There is more than one solution.
(2) All solutions are divisible by 7³ without remainder. 

Another problem on the topic of "concatenation"

A concatenation of two natural numbers a and b leads to n times the value of a and m times the value of b.

p = [lg (b)] + 1

a * 10[lg (b)]+1 + b = m * b
a * 10[lg (b)]+1 + b = n * a

a * 10p + b = m * b
a * 10p + b = n * a

⇒ m * b = n * a

Example: The numbers 24 and 600 are chained. The result is the number 24600, and the value of the result of this transformation can be expressed as 1025 times 24 on the one hand and 41 times 600 on the other:

1025 * 24 = 41 * 600 = 24600 = v (24, 600) =
= 24 * 10[lg (600)]+1 + 600

Practice examples:

(1) The result of chaining two numbers is 1008 times the first component a and 126 times the second component b. At least one solution pair should be found.
(2) The result of a concatenation of two numbers is 1020 times the first component a and 51 times the second component b. At least one solution pair shall be found.

Unicode: Dot Above Digit?

"Dot Above Digit" in OpenOffice Writer

After a long search I have found the solution in the OpenOffice Writer:

Insert:
Object
Formula (the "Elements" window must appear).
Click on the a with an arrow over it.
Click on the a that has a point above it.
Enter the appropriate number.
Click back into the text area. Finished.

Actually, a shame that poor students even after so many years of Unicode already existing, is not helped to bring this ridiculous little dot for numbers unto the LCD box. The reason (possibly): Brings hardly anything - (for shareholders...).

And why should not the ugly overline also do? -

All right.

Was ist eine interessante Zahl?

Zuerst wohl einmal eine, die mich persönlich interessiert. Dann aber kann mein persönliches Interesse auch übergehen in eine Art allgemeines Interesse.

Beispielsweise ist für mich die Zahl 1001 sehr schön. Nicht nur, weil sie im Titel einer Märchensammlung enthalten ist, sondern auch, weil sie erstens nur aus zwei Ziffern besteht (noch dazu zwei Ziffern, die auch zwei besondere Zahlen darstellen) und zweitens weil sie in einer einfachen, aber bestechenden Symmetrie angeordnet sind (Zahlenpalindrom, Spiegelzahl). Auch ihre Zusammensetzung aus Faktoren ist interessant: 7 · 11 · 13. Nicht zuletzt ist die Zahl 1001 die Summe zweier Kubikzahlen (10³ + 1³) sowie die Differenz einer Reihe von Potenzenpaaren:

45² - 210 = 1001
51² - 40² = 1001
75² - 68² = 1001  .
.
.
.

Differenzen unterschiedlicher Potenzen von Pi

Es geht in diesem Statement nicht unbedingt um die Sinnhaftigkeit der Genauigkeit von Zahlen, obwohl dieses Thema auch sehr wichtig wäre. Statt dessen um - nun, ich sage einmal - "Gewitztheit" einiger Zahlenwerte, die einem beim Spielen mit Taschenrechnern (und diese werden immer genauer) "blühen":

π14 - π12 ≈ 8197902,00023...

Ich runde ab auf Ganze: π14 - π12 ≈ 8 197 902
Das Ergebnis soll jetzt von einem anderen Blickwinkel aus untersucht werden: als Summe von einer Potenz und einer anderen interessanten Zahl.

8197902 - 5³ = 8197777

Und 8197777 = 7 * 1171111 

Eckige Klammern sollen folgende Bedeutung haben: [x] = die größte ganze Zahl, die kleiner ist als x oder gleich groß wie x. Mit anderen Worten - ich lasse den Zahlenteil rechts vom Komma weg, also den Teilbetrag, der kleiner als 1 ist. Für dieses Vorhaben (diesen Beitrag) ist dies besonders dann interessant, wenn dieser Teilbetrag besonders klein ist - wie in diesem Beispiel: 0,00023... :


14 - π12] = 8197902

Des Weiteren:

[π^14 - π^12] - 5³  ≈  8197777  =  7 * 1171111

 Zufall? - Mag schon sein.

Bitte den TR nicht putzen!

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Zum Beispiel kürzlich damit "er"-spielt:

 

[(1/7)^7 + 7^(1/7) + (1/7)^(1/7) ≈ 2,0777770041463558... ... nachgerechnet mit einem etwas mächtigeren Rechner]

Also nur etwa vier Milliardstel daneben. Nicht schlecht.

Der gezeigte Taschenrechner oben versieht bereits seit einiger Zeit seinen Dienst. Er ist ein CASIO fx-85DE PLUS.

Das Rundungszeichen ≈ kein Stiefkind der Mathematik.

Überhaupt ist auch die Mathematik, wie ich meine, von Gott erfunden und erschaffen worden. Ohne Schöpferkraft und Schaffensfreude "geht" hier nicht viel. Die eingangs aufgeführte Rechnung lässt für mich etwas von Gottes Witz erahnen. Ich mag Ihn! Solche Sachen sind mir mehr Beweis Seiner Existenz als Beweise in der Mathematik. Obwohl natürlich die auch nicht "von schlechten Eltern" sind - und Gott ist ja seit Jesus von Nazareth mein Vater. Ein dreifach Hoch Ihm, Seinem Sohn, dem Zimmermann, und dem Heiligen Geist, dessen Fest wir in drei Tagen feiern.