Verketten zweier natürlicher Zahlen

Einführung: Eine mathematische Umformung sei dadurch definiert, dass zwei natürliche Zahlen zu einer dritten natürlichen Zahl “verkettet” werden:

n = 10m * a + b, wobei m = [lg b] + 1 . ([x] = größte ganze Zahl kleiner oder gleich x)
Zwei Beispiele einer Verkettung:
45, 386 45386
7, 78230
778230
Anmerkung: Die Stellenanzahl einer natürlichen Zahl u sei so verstanden, dass man u ohne führende Nullen schreibt.

Nun folgende Problemstellung als Rechenaufgabe zum definierten Sachverhalt:

Gegeben: Eine dreistellige Zahl b sei das Neunundzwanzigfache einer zweistelligen Zahl a.
a und b sollen zu “ihrer” fünfstelligen Zahl n verkettet werden (die zweistellige Zahl bilde den linken Teil von n).


Gesucht: Ein Beweis für folgende Tatsachen:


(1) Es gibt mehr als eine Lösung.
(2) Alle Lösungen sind durch 7³ ohne Rest teilbar.

Eine andere Problemstellung zum Thema “Verkettung”

Eine Verkettung zweier natürlicher Zahlen a und b führe zum n-fachen Wert von a und zum m-fachen Wert von b.

p = [lg (b)] + 1

a * 10[lg (b)]+1 + b = m * b
a * 10[lg (b)]+1 + b = n * a

a * 10p + b = m * b
a * 10p + b = n * a

m * b = n * a

Beispiel: Die Zahlen 24 und 600 werden verkettet. Es ergibt sich die Zahl 24600. Der Wert des Ergebnisses dieser Umformung lässt sich einerseits als das 1025-fache von 24 ausdrücken, andererseits als das 41-fache von 600:

1025 * 24 = 41 * 600 = 24600 = v (24, 600) =
= 24 * 10
[lg (600)]+1 + 600

Übungsbeispiele:

  1. Das Ergebnis einer Verkettung zweier Zahlen ist das 1008-fache der ersten Komponente a und das 126-fache der zweiten Komponente b. Es soll zumindest ein Lösungspaar gefunden werden.

  2. Das Ergebnis einer Verkettung zweier Zahlen ist das 1020-fache der ersten Komponente a und das 51-fache der zweiten Komponente b. Es soll zumindest ein Lösungspaar gefunden werden.

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